П-44. Сумма первых п членов арифметической прогрессии Вариант 1 1. Дана арифметическая прогрессия 2, 3, 8, Найдите: а) сумму ее первых десяти членов; б) сумму ее первых п членов; в) число последовательных членов этой прогрессии, которые надо сложить, начиная с первого, чтобы полу- чить 40. 2*. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 4.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁ = 3 - 2 = 1.

Теперь найдем десятый член прогрессии: a₁₀ = a₁ + (10 - 1) * d = 2 + 9 * 1 = 11.

Сумма первых десяти членов: S₁₀ = (a₁ + a₁₀) / 2 * 10 = (2 + 11) / 2 * 10 = 13 * 5 = 65.

Сумма первых n членов: Sₙ = (2a₁ + (n - 1) * d) / 2 * n = (2 * 2 + (n - 1) * 1) / 2 * n = (4 + n - 1) / 2 * n = (n + 3) / 2 * n = (n² + 3n) / 2.

Решаем уравнение: (n² + 3n) / 2 = 40, n² + 3n = 80, n² + 3n - 80 = 0.

D = 3² - 4 * 1 * (-80) = 9 + 320 = 329.

Так как дискриминант не является полным квадратом, то корень будет не целым числом. Это означает, что нет целого количества членов, сумма которых равна 40. Ближайшие значения:

S₉ = (9² + 3 * 9) / 2 = (81 + 27) / 2 = 108 / 2 = 54

S₈ = (8² + 3 * 8) / 2 = (64 + 24) / 2 = 88 / 2 = 44

Первое трехзначное число, кратное 4: 100.

Последнее трехзначное число, кратное 4: 996.

Найдем количество членов: aₙ = a₁ + (n - 1) * d, где a₁ = 100, d = 4, aₙ = 996.

996 = 100 + (n - 1) * 4, 896 = (n - 1) * 4, n - 1 = 224, n = 225.

Теперь найдем сумму: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 * n = (100 + 996) / 2 * 225 = 1096 / 2 * 225 = 548 * 225 = 123300.