3. PABCD - правильная четырех- угольная пирамида, AD = 6 см, вы- сота РО = 4 см. Найдите площадь боковой грани пирамиды. а) 15 см²; в) 60 см²; б) 30 см²; г) 72 см².

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат, $$AD = 6$$ см, следовательно, $$AB = BC = CD = AD = 6$$ см.

Т.к. пирамида правильная, то основание высоты пирамиды $$PO$$ есть точка пересечения диагоналей квадрата. Следовательно, $$AO = \frac{1}{2}AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. По теореме Пифагора $$AC^2 = AD^2 + DC^2$$, $$AC^2 = 6^2 + 6^2$$, $$AC^2 = 36 + 36$$, $$AC^2 = 72$$, $$AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ см.

$$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$ см.

Рассмотрим треугольник $$PAO$$. Т.к. $$PO$$ - высота пирамиды, то $$PO \perp (ABCD)$$, следовательно, $$PO \perp AO$$. Треугольник $$PAO$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора $$PA^2 = PO^2 + AO^2$$, $$PA^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2$$, $$PA^2 = 16 + 18$$, $$PA^2 = 34$$, $$PA = \sqrt{34}$$ см.

Т.к. пирамида правильная, то все боковые грани - равнобедренные треугольники. Проведем высоту $$PH$$ к стороне $$AD$$ основания пирамиды. Т.к. треугольник $$APD$$ - равнобедренный, то высота $$PH$$ является и медианой. Следовательно, $$AH = HD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$ см.

Рассмотрим треугольник $$APH$$. Т.к. $$PH$$ - высота, то $$PH \perp AD$$, треугольник $$APH$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора $$PH^2 + AH^2 = AP^2$$, $$PH^2 + 3^2 = ( \sqrt{34} )^2$$, $$PH^2 + 9 = 34$$, $$PH^2 = 25$$, $$PH = \sqrt{25} = 5$$ см.

Площадь боковой грани пирамиды $$S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot PH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$$ см².

Ответ: а) 15 см²