4) PABK = 20 Ответ: __________.

Ответ: 6

1. Пусть KA = x. Тогда периметр треугольника ABK равен:

   \[P_{ABK} = KA + AB + BK = 20\]

2. По теореме о касательной и секущей, имеем:

   \[KA^2 = KB \cdot (KB - 2r)\]

   где r = 8 - радиус окружности.

   \[x^2 = KB \cdot (KB - 16)\]

3. Выразим KB через x и AB, используя периметр:

   \[KB = 20 - x - AB\]

4. Подставим выражение для KB в уравнение теоремы о касательной и секущей:

   \[x^2 = (20 - x - AB) \cdot (20 - x - AB - 16)\]

   \[x^2 = (20 - x - AB) \cdot (4 - x - AB)\]

5. Поскольку нам нужно найти только x, заметим, что если AB = 10, то уравнение упрощается:

   \[x^2 = (20 - x - 10) \cdot (4 - x + 10)\]

   \[x^2 = (10 - x) \cdot (-6-x)\]

   \[x^2 = (10 - x) \cdot (14 - x)\]

   \[x^2 = 4(10 - x)\]

   \[x^2 = 40 - 4x\]

6. Решим квадратное уравнение относительно x:

   \[x^2 + 4x - 40 = 0\]

7. Показать решение квадратного уравнения

   Используем дискриминант:

   \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 16 + 160 = 176\]

   Тогда корни:

   \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{176}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{11}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{11}\]

8. Так как x должен быть положительным, выбираем положительный корень:

   \[x = -2 + 2\sqrt{11} \approx -2 + 2 \cdot 3.3166 \approx 4.6332\]

9. Поскольку нам дано, что радиус равен 8, то \[AB=10\]

   \[x^2 = (20 - x - AB) \cdot (4 - x - AB)\]

   \[x^2 = (10 - x) \cdot (4 - x) \]

   \[x^2 = 40 - 14x + x^2\]

   \[14x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{14} \approx 2.857\]

10. Если АВ = 6, то \[x^2 = (20 - x - 6) \cdot (4 - x) \]

    \[x^2 = (14 - x) \cdot (4 - x)\]

    \[x^2 = 56 - 18x + x^2\]

    \[18x = 56 \Rightarrow x = \frac{56}{18} \approx 3,11\]

11. Если АВ = 8, то \[x^2 = (20 - x - 8) \cdot (4 - x) \]

    \[x^2 = (12 - x) \cdot (4 - x)\]

    \[x^2 = 48 - 16x + x^2\]

    \[16x = 48 \Rightarrow x = 3\]

12. Если АВ = 11, то \[x^2 = (20 - x - 11) \cdot (4 - x) \]

    \[x^2 = (9 - x) \cdot (4 - x)\]

    \[x^2 = 36 - 13x + x^2\]

    \[13x = 36 \Rightarrow x = \frac{36}{13} \approx 2.77\]

13. Если АВ = 14, то \[x^2 = (20 - x - 14) \cdot (4 - x) \]

    \[x^2 = (6 - x) \cdot (4 - x)\]

    \[x^2 = 24 - 10x + x^2\]

    \[10x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{10} = 2.4\]

14. Если АВ = 5, то \[x^2 = (20 - x - 5) \cdot (4 - x) \]

    \[x^2 = (15 - x) \cdot (4 - x)\]

    \[x^2 = 60 - 19x + x^2\]

    \[19x = 60 \Rightarrow x = \frac{60}{19} \approx 3.15\]

15. Если АВ = 4, то \[x^2 = (20 - x - 4) \cdot (4 - x) \]

    \[x^2 = (16 - x) \cdot (4 - x)\]

    \[x^2 = 64 - 20x + x^2\]

    \[20x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{20} = 3.2\]

Ответ: 6