Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Pac. 1 Вариант 1 1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК-8 см. Дано: ABCD - ромб. АВ = 5 см. BD = 6 см. OK (ABC), OK = 8 см (рис. 1). Найти: КА, КB, KC, KD. 2. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость а, проходящая через катет, образует с плоскостью тре- угольника угол, величина которого равна 30°. Найдите длину проекции ги- потенузы на плоскость а
Ответ:
1. Рассмотрим ромб $$ABCD$$. $$O$$ – точка пересечения диагоналей ромба. Т.к. диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то $$BO = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABO$$ ($$\angle AOB = 90^\circ$$). По теореме Пифагора:
$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$ см.
Следовательно, $$AC = 2AO = 2 \cdot 4 = 8$$ см.
Т.к. $$OK \perp (ABC)$$, то $$OK$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ромба.
Следовательно, $$OK \perp AO$$, $$OK \perp BO$$, $$OK \perp CO$$, $$OK \perp DO$$.
Тогда треугольники $$AOK$$, $$BOK$$, $$COK$$, $$DOK$$ – прямоугольные.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. По теореме Пифагора:
$$AK = \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ см.
$$CK = AK = 4\sqrt{5}$$ см, т.к. $$AO = OC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOK$$. По теореме Пифагора:
$$BK = \sqrt{BO^2 + OK^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$$ см.
$$DK = BK = \sqrt{73}$$ см, т.к. $$BO = OD$$.
2. Дано: $$ABC$$ - прямоугольный равнобедренный треугольник, $$AC = BC = 4$$ см.
Плоскость $$\alpha$$ проходит через катет $$AC$$.
Плоскость $$\alpha$$ образует с плоскостью треугольника угол $$30^\circ$$.
Найти длину проекции гипотенузы $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$.
Решение:
Т.к. треугольник $$ABC$$ - прямоугольный и равнобедренный, то $$AC = BC = 4$$ см.
По теореме Пифагора:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ см.
Т.к. плоскость $$\alpha$$ проходит через катет $$AC$$, то проекцией катета $$AC$$ на плоскость $$\alpha$$ является сам катет $$AC$$.
Проекцией катета $$BC$$ на плоскость $$\alpha$$ является отрезок $$CC_1$$, где $$C_1$$ - проекция точки $$C$$ на плоскость $$\alpha$$.
Угол между плоскостью треугольника и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между $$BC$$ и $$CC_1$$, т.е. $$\angle BCC_1 = 30^\circ$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCC_1$$ ($$\angle BC_1C = 90^\circ$$).
$$CC_1 = BC \cdot \sin{\angle BCC_1} = 4 \cdot \sin{30^\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ см.
Т.к. проекциями катетов $$AC$$ и $$BC$$ на плоскость $$\alpha$$ являются отрезки $$AC$$ и $$CC_1$$ соответственно, то проекцией гипотенузы $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$ является отрезок $$AC_1$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$ ($$\angle ACC_1 = 90^\circ$$).
По теореме Пифагора:
$$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ см.
Ответ: $$AK=CK = 4\sqrt{5}$$ см, $$BK=DK = \sqrt{73}$$ см. $$AC_1 = 2\sqrt{5}$$ см.
