Палиндромом называют число, которое одинаково читается слева направо и справа налево. К натуральному числу прибавляют число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Если полученное число не является палиндромом, операцию повторяют с полученным числом. Сколько существует двузначных натуральных чисел, которые после одной операции ещё не становятся палиндромами, но становятся после второй?

Пусть двузначное число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц. Тогда число, записанное в обратном порядке, равно \(10b+a\).

После первой операции получаем:

\(10a+b+10b+a=11(a+b)\).

Обозначим \(k=a+b\). Возможные значения \(k\) — от 1 до 18.

При \(k=1,2,\ldots,9\) число \(11k\) является палиндромом. При \(k=11\) получаем \(121\), тоже палиндром. Поэтому после первой операции число не является палиндромом при:

\(k=10,12,13,14,15,16,17,18\).

Проверим вторую операцию:

1. \(110+11=121\) — палиндром;
2. \(132+231=363\) — палиндром;
3. \(143+341=484\) — палиндром;
4. \(154+451=605\) — не палиндром;
5. \(165+561=726\) — не палиндром;
6. \(176+671=847\) — не палиндром;
7. \(187+781=968\) — не палиндром;
8. \(198+891=1089\) — не палиндром.

Подходят суммы цифр \(a+b=10,12,13\).

Количество двузначных чисел:

• при \(a+b=10\): 9 чисел;
• при \(a+b=12\): 7 чисел;
• при \(a+b=13\): 6 чисел.

Всего: \(9+7+6=22\).

Ответ: 22 числа.