665*. Панч дона санги массаҳояшон 1 г, 2 г, 4 г, 8 г ва 16 г мавчуданд. Оё дар тарозуи дупалладор бо ёрии онҳо бори массааш 23 граммро ба мувозинат овардан мумкин аст? Дар косаи бордор гузоштани санг манъ аст. Массаи бор бо адади бутуни граммҳо баробар аст. Оё бори дилхоҳи массааш то 36 г бударо бо ёрии ин сангҳо мувозинат овардан мумкин аст?

На весы можно положить камни массами 1 г, 2 г, 4 г, 8 г и 16 г.

Чтобы уравновесить груз в 23 грамма, нужно положить на другую чашу весов камни массами:

$$23 = 16 + 4 + 2 + 1 \text{ г}$$\

Да, возможно уравновесить груз массой 23 г.

Теперь рассмотрим, можно ли уравновесить любой груз массой до 36 г.

Любую массу можно представить в виде суммы степеней двойки. Например,

$$36 = 32 + 4$$

$$35 = 32 + 2 + 1$$

$$34 = 32 + 2$$

$$33 = 32 + 1$$

Все массы до 31 грамма можно уравновесить, так как

$$31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16$$\ и все камни можно положить на одну чашу весов.

Любую массу от 32 до 36 граммов тоже можно уравновесить:

• 32 г = 32 г
• 33 г = 32 г + 1 г
• 34 г = 32 г + 2 г
• 35 г = 32 г + 2 г + 1 г
• 36 г = 32 г + 4 г

Ответ: Да, можно уравновесить груз массой 23 г; любой груз массой до 36 г тоже можно уравновесить.