Парабола y = x² - 2x - 8 пересекает ось OX в точках А и В, точка С - вершина параболы. Вычислите ABC.

Решение:

Для нахождения точек пересечения параболы \( y = x^2 - 2x - 8 \) с осью OX (где \( y = 0 \)), решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Точки пересечения с осью OX: \( A(-2; 0) \) и \( B(4; 0) \).

Найдем координаты вершины параболы (точки C). Координата \( x_C \) находится по формуле \( x_C = -\frac{b}{2a} \):

\[ x_C = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

Найдем координату \( y_C \), подставив \( x_C = 1 \) в уравнение параболы:

\[ y_C = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \]

Вершина параболы: \( C(1; -9) \).

Теперь вычислим площадь треугольника ABC. Основание AB находится на оси OX, его длина равна разности x-координат точек B и A:

\[ AB = |x_B - x_A| = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 \]

Высота треугольника, проведенная к основанию AB, равна модулю y-координаты вершины C:

\[ h = |y_C| = |-9| = 9 \]

Площадь треугольника ABC равна:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 3 \cdot 9 = 27 \] (единиц площади)

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 27.