Параллельно двум сторонам треугольника АВС провели две прямые. Они разбили треугольник на две трапеции, треугольник и параллелограмм. Числами обозначены площади трапеций и треугольника. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан треугольник ABC, в котором проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбили треугольник на две трапеции, один треугольник и один параллелограмм. Обозначим площадь маленького треугольника (вверху) как $$S_1$$, площадь параллелограмма как $$S_x$$, площади трапеций как $$S_2=35$$ и $$S_3=15$$.

Заметим, что маленький треугольник подобен большому треугольнику ABC. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда площади этих треугольников относятся как $$k^2$$.

Площади треугольников, отсекаемых от исходного треугольника прямыми, параллельными его сторонам, пропорциональны квадратам этих сторон. Площадь параллелограмма, примыкающего к одной из сторон, равна среднему геометрическому площадей указанных треугольников.

Площадь параллелограмма равна среднему геометрическому площадей меньшего треугольника и треугольника, состоящего из двух трапеций и параллелограмма:

$$S_x = \sqrt{S_1 \cdot (S_x + 35 + 15)}$$

$$S_x = \sqrt{S_1 \cdot (S_x + 50)}$$

Известно свойство, что площади параллелограмма и маленького треугольника равны: $$S_x = \sqrt{35 \cdot 15}$$. Тогда $$S_1=\sqrt{35\cdot15}$$.

Так как площади маленького треугольника и параллелограмма равны, то получаем:

$$S_x = \sqrt{S_1 \cdot (S_x + 50)}$$

$$S_1 = \sqrt{15 \cdot 35}$$, тогда $$S_1=\sqrt{15\cdot35}=\sqrt{525}=5\sqrt{21}$$

По свойству четырехугольника, образованного двумя параллельными сторонам треугольника прямыми, площадь параллелограмма есть среднее геометрическое площадей трапеций: $$S_x = \sqrt{35 \cdot 15} = \sqrt{525} = \sqrt{25 \cdot 21} = 5\sqrt{21}$$.

$$S_x = 5\sqrt{21}$$

$$S_x \approx 22.91$$

Округлим до целого числа: $$S_x \approx 23$$.

Ответ: 23