11.4. 1) Параллельны ли прямые т и п, изображённые на рисунке 73? 2) На рисунке 74 АВ = CD, BC = AD. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. 11.5. 1) Параллельны ли прямые а и b, b и с, а и с, изображённые на рисунке 75? 2) На рисунке 76 <1 = ∠2, АС = МК, ВС = NК. Докажите, что прямые АВ и М№ параллельны. 11.6. 1) Параллельны ли прямые тип, тик, п и к, изображённые на рисунке 77? 2) На рисунке 781 = ∠2, MK = AB, NK = АС. Докажите, что прямые ММ и ВС параллельны.

11.4. 1) Прямые m и n на рисунке 73 не параллельны.

Решение:

Для того чтобы прямые m и n были параллельны, необходимо, чтобы соответственные углы были равны. В данном случае, один угол равен 128°, а другой 52°. Так как 128° ≠ 52°, то прямые m и n не параллельны.

2) Дано: На рисунке 74 АВ = CD, BC = AD.

Доказать: АВ || CD.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. В нем стороны AB = CD и BC = AD. Это означает, что ABCD - параллелограмм (по признаку параллелограмма: если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм).

В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, AB || CD.

Что и требовалось доказать.

11.5. 1) Прямые a и b на рисунке 75 не параллельны, прямые b и c не параллельны, прямые a и c не параллельны.

Решение:

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо равенство соответственных углов.

Прямые a и b: углы равны 50° и 50°, значит, a || b.

Прямые b и c: углы равны 50° и 130°. Так как 50° ≠ 130°, то b и c не параллельны.

Прямые a и c: углы равны 50° и 130°. Так как 50° ≠ 130°, то a и c не параллельны.

2) Дано: На рисунке 76 ∠1 = ∠2, АС = МК, ВС = NК.

Доказать: АВ || MN.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и MNK. В них ∠1 = ∠2, АС = МК, ВС = NK. Следовательно, треугольники ABC и MNK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠NMK. Эти углы являются соответственными при прямых AB и MN и секущей AM. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AB || MN.

Что и требовалось доказать.

11.6. 1) Прямые m и n на рисунке 77 параллельны, прямые m и k параллельны, прямые n и k параллельны.

Решение:

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. На рисунке 77 прямые m, n и k пересечены третьей прямой. Угол между m и этой прямой равен 120°, а угол между n и этой прямой равен 60°. Так как 120° + 60° = 180°, то m || n.

Угол между n и прямой k равен 60°. Так как 60° = 60°, то n || k.

Угол между m и k равен 120°. Так как 120° + 60° = 180°, то m || k.

2) Дано: На рисунке 78 ∠1 = ∠2, MK = AB, NK = АС.

Доказать: MN || BC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и MNK. В них ∠1 = ∠2, MK = AB, NK = АС. Следовательно, треугольники ABC и MNK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠MKN = ∠ABC. Эти углы являются соответственными при прямых MN и BC и секущей BK. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MN || BC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: смотри решение выше.