Параллельные прямые a и b лежат в плоскости γ. Через прямую a проведена плоскость α, а через прямую b — плоскость β так, что плоскости α и β пересекаются по прямой c. Докажите, что c ∥ γ.

В условии не хватает уточнения: плоскости α и β должны отличаться от γ. Иначе утверждение неверно. Например, если α = γ, а β — плоскость, проходящая через b и отличная от γ, то α и β пересекаются по прямой b, которая лежит в γ, а не параллельна ей.

При обычном для этой теоремы предположении α ≠ γ и β ≠ γ доказательство такое. Поскольку a ⊂ α и a ⊂ γ, а α ≠ γ, имеем α ∩ γ = a. Аналогично β ∩ γ = b. Предположим, что c пересекает γ в точке P. Так как c ⊂ α и c ⊂ β, точка P принадлежала бы обеим прямым α ∩ γ = a и β ∩ γ = b. Но a и b — различные параллельные прямые и не пересекаются. Получили противоречие. Значит, c не пересекает γ. Поскольку c лежит в плоскости α, а α пересекает γ по прямой a, c не может лежать в γ. Следовательно, c ∥ γ.

Вывод: при условии α ≠ γ и β ≠ γ получаем c ∥ γ.