Параллелограмм. Свойства параллелограмма 11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 1) 21 = Z2, Z3 = 24. Докажите, что четырёх- угольник АBCD – паралле- лограмм. 12. Периметр параллелограмма равен 56 см. Найдите его стороны, если одна из них на 6 см больше другой. 13. Периметр параллелограмма равен 126 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как 4: 5. 14. Найдите углы параллелограмма, если: 1) один из его углов равен 46°; 2) сумма двух его углов равна 186°; 3) один из его углов на 56° больше другого; 4) один из его углов в 3 раза меньше другого; 5) два его угла относятся как 5 : 7. 15. Даны два параллелограмма ABCD и KMNP. Могут ли одновременно выполняться неравенства: ДА > ДК и ∠B > ZM? 16. На рисунке 2 изображены параллелограммы. Опреде- лите, не выполняя измерений, на каких рисунках ве- личины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах). 17. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Найдите разность периметров треугольни- ков COD и AOD, если АВ = 7 см, ВС = 4 см.

11. Доказательство, что ABCD - параллелограмм

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

Поскольку ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, это означает, что AC и BD являются секущими для прямых AB, CD и AD, BC соответственно.

• Если ∠1 = ∠2, то прямые AB || CD (накрест лежащие углы равны).
• Если ∠3 = ∠4, то прямые AD || BC (накрест лежащие углы равны).

Так как противоположные стороны AB || CD и AD || BC, четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению.

12. Нахождение сторон параллелограмма

Пусть одна сторона равна x см, тогда другая сторона равна x + 6 см.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть:

\[ 2x + 2(x + 6) = 56 \] \[ 2x + 2x + 12 = 56 \] \[ 4x = 56 - 12 \] \[ 4x = 44 \] \[ x = 11 \]

Одна сторона равна 11 см, тогда другая сторона равна 11 + 6 = 17 см.

Ответ: Стороны параллелограмма: 11 см и 17 см.

13. Нахождение сторон параллелограмма, если отношение 4:5

Пусть одна сторона равна 4x см, тогда другая сторона равна 5x см.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть:

\[ 2(4x) + 2(5x) = 126 \] \[ 8x + 10x = 126 \] \[ 18x = 126 \] \[ x = 7 \]

Одна сторона равна 4 ⋅ 7 = 28 см, тогда другая сторона равна 5 ⋅ 7 = 35 см.

Ответ: Стороны параллелограмма: 28 см и 35 см.

14. Нахождение углов параллелограмма

1) Один из углов равен 46°

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°.

• Один угол равен 46°, тогда противоположный ему угол тоже 46°.
• Смежный угол равен 180° - 46° = 134°.
• Противоположный ему угол тоже 134°.

Ответ: Углы: 46°, 134°, 46°, 134°.

2) Сумма двух углов равна 186°

Сумма двух углов равна 186°. Это могут быть только два тупых угла, т.к. сумма двух острых углов будет меньше 180°.

Пусть один угол x, другой x. 2x = 186, x=93.

• Два угла по 93°, два других по 180° - 93° = 87°.

Ответ: Углы: 93°, 87°, 93°, 87°.

3) Один из углов на 56° больше другого

Пусть один угол x, тогда другой x + 56°.

Сумма двух смежных углов равна 180°:

\[ x + (x + 56) = 180 \] \[ 2x + 56 = 180 \] \[ 2x = 124 \] \[ x = 62 \]

• Один угол 62°, другой 62° + 56° = 118°.

Ответ: Углы: 62°, 118°, 62°, 118°.

4) Один из углов в 3 раза меньше другого

Пусть один угол x, тогда другой 3x.

Сумма двух смежных углов равна 180°:

\[ x + 3x = 180 \] \[ 4x = 180 \] \[ x = 45 \]

• Один угол 45°, другой 3 ⋅ 45° = 135°.

Ответ: Углы: 45°, 135°, 45°, 135°.

5) Два его угла относятся как 5:7

Пусть один угол 5x, тогда другой 7x.

Сумма двух смежных углов равна 180°:

\[ 5x + 7x = 180 \] \[ 12x = 180 \] \[ x = 15 \]

• Один угол 5 ⋅ 15° = 75°, другой 7 ⋅ 15° = 105°.

Ответ: Углы: 75°, 105°, 75°, 105°.

15. Могут ли выполняться неравенства?

В параллелограмме ABCD: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

В параллелограмме KMNP: ∠K = ∠M и ∠N = ∠P.

Неравенства ∠A > ∠K и ∠B > ∠M могут одновременно выполняться, если углы в параллелограмме ABCD больше соответствующих углов в параллелограмме KMNP.

Ответ: Да, могут.

16. Определение неверных углов и длин отрезков

Рисунок а

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, должна быть равна 180°.

В данном случае: 40° + 41° = 81°, что не равно 180°.

Ответ: Значения углов указаны неверно.

Рисунок б

В параллелограмме противоположные стороны должны быть равны.

В данном случае: BC = 5, AD = 6, AB = 9, CD = 9.

Ответ: Значение стороны ВС указано неверно.

Рисунок в

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, должна быть равна 180°.

В данном случае: 48° + 122° = 170°, что не равно 180°.

Ответ: Значения углов указаны неверно.

17. Разность периметров треугольников COD и AOD

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, CO = AO и DO - общая сторона.

Периметр треугольника COD: P(COD) = CO + OD + CD

Периметр треугольника AOD: P(AOD) = AO + OD + AD

Разность периметров: P(COD) - P(AOD) = (CO + OD + CD) - (AO + OD + AD) = CD - AD

Так как AB = CD = 7 см и BC = AD = 4 см, то разность периметров равна: 7 - 4 = 3 см.

Ответ: Разность периметров: 3 см.