Паук находится в точке А своей паутины. За один шаг он может переползти в новый узел паутины, переместившись вправо-вверх или вправо-вниз. Сколькими способами он может добраться в точку В, двигаясь по своим паутинкам?

Решение:

Это задача на подсчёт количества путей в графе. Паук может двигаться только вправо-вверх или вправо-вниз. Представим паутину в виде сетки. Точка А — это стартовая позиция, а точка В — конечная.

Чтобы добраться из А в В, пауку необходимо сделать определённое количество шагов в каждом направлении. Посмотрим на сетку:

Из точки А до точки В нужно сделать 3 шага вправо и 2 шага вниз.

Каждый путь состоит из 3 шагов «вправо-вверх» и 2 шагов «вправо-вниз». Всего 5 шагов.

Задача сводится к тому, сколькими способами можно выбрать 3 шага «вправо-вверх» (или 2 шага «вправо-вниз») из общего числа 5 шагов.

Это можно решить с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n \) — общее количество шагов, а \( k \) — количество шагов одного типа (например, «вправо-вверх»).

В нашем случае \( n = 5 \) (общее количество шагов) и \( k = 3 \) (шаги «вправо-вверх»).

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Или, если выбрать \( k = 2 \) (шаги «вправо-вниз»):

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \]

Таким образом, существует 10 различных путей из точки А в точку В.

Ответ: 10 способов.