Перечень билетов публичного зачета по геометрии в 8 классе в 2025 году. Билет № 1 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору. 3) Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=1см, а радиус окружности равен 5см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника. Билет № 2 1) Сформулируйте определение и свойства параллелограмма. 2) Сформулируйте и докажите свойство медиан треугольника. 3) Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма. 4) Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 100°. Билет № 3 1) Сформулируйте определение и свойства прямоугольника. 2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3) Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности. 4) В треугольнике ABC углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Билет № 1

1) Определение и формула:

• Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков (сторон), соединенных последовательно в замкнутую ломаную.
• Вершина — точка, где сходятся две стороны многоугольника.
• Сторона — отрезок, образующий многоугольник.
• Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.
• Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.
• Формула суммы углов выпуклого n-угольника:

\[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \]

2) Теоремы о средних линиях:

• Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
• Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

3) Длина хорды AC:

Дано:

• Окружность с центром O.
• Хорда AC.
• OD ⊥ AC, D — точка на AC.
• BD = 1 см.
• Радиус (OB) = 5 см.

Решение:

Так как OB — радиус, то OB = 5 см. Точка D лежит на хорде AC, и OD перпендикулярно AC. OD является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике AOC (так как OA = OC = радиус). Следовательно, D — середина AC.

Поскольку OD ⊥ AC, то угол ODA = 90°.

Рассмотрим треугольник ODA: OA^2 = OD^2 + AD^2.

Мы знаем, что OB = 5 см. Точка D лежит между O и B (или B между O и D, но из рисунка и условия BD=1 следует, что D между O и B, если B внешняя точка, или B на окружности, а D внутри). Предположим, что O, D, B лежат на одной прямой. Тогда OD = OB - BD = 5 - 1 = 4 см.

Теперь подставим значения в теорему Пифагора для треугольника ODA:

\[ 5^2 = 4^2 + AD^2 \]

\[ 25 = 16 + AD^2 \]

\[ AD^2 = 25 - 16 = 9 \]

\[ AD = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]

Так как D — середина AC, то AC = 2 * AD.

\[ AC = 2 \times 3 = 6 \text{ см} \]

Ответ: 6 см

4) Площадь прямоугольника:

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Периметр P = 56 см.
• Диагональ d = 20 см.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны a и b.

Периметр: \( 2(a+b) = 56 \) => \( a+b = 28 \)

Диагональ в прямоугольнике образует прямоугольный треугольник с двумя сторонами. По теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ a^2 + b^2 = 20^2 = 400 \]

Мы знаем, что \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Подставим известные значения:

\[ 28^2 = 400 + 2ab \]

\[ 784 = 400 + 2ab \]

\[ 2ab = 784 - 400 = 384 \]

\[ ab = \frac{384}{2} = 192 \]

Площадь прямоугольника равна \( S = ab \).

Ответ: 192 см^2

Билет № 2

1) Определение и свойства параллелограмма:

• Определение: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• Свойства:
  • Противоположные стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°.

2) Свойство медиан треугольника:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

3) Меньший угол параллелограмма:

Пусть стороны параллелограмма равны AB и BC, а диагональ BD. Углы, которые диагональ BD образует со сторонами, следующие: \( ∠ ABD = 60^{\circ} \) и \( ∠ BDC = 55^{\circ} \). Поскольку BC || AD, то \( ∠ ABD = ∠ BDC \) как накрест лежащие углы. Однако, в условии указаны углы, которые диагональ образует со сторонами, а не с продолжениями сторон. Из рисунка видно, что диагональ BD образует с AB угол 60°, и с BC (или AD) угол 55°. Если \( ∠ ABD = 60^{\circ} \) и \( ∠ CBD = 55^{\circ} \), то \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD = 60^{\circ} + 55^{\circ} = 115^{\circ} \).

Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

\( ∠ BAD + ∠ ABC = 180^{\circ} \)

\[ ∠ BAD = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \]

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \( ∠ BCD = 65^{\circ} \) и \( ∠ ADC = 115^{\circ} \).

Меньшие углы — 65°.

Ответ: 65°

4) Угол ACO:

Дано:

• Окружность.
• CA — касательная.
• Дуга AD = 100°.

Решение:

Угол между касательной CA и хордой AD равен половине дуги AD, которую он стягивает.

\[ ∠ CAD = \frac{1}{2} \text{дуга } AD = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ} \]

Однако, нам нужно найти угол ACO. Угол ACO — это часть угла ACB. Угол ACB — вписанный, опирающийся на диаметр AB (если AC касается окружности, то точка касания - A, CA - касательная. Угол ACO - это угол между касательной и хордой AC, проходящей через точку касания? Нет, CA касается окружности. Угол ACO - это угол между касательной CA и радиусом OC? Нет, это угол ACO. Предположим, что CA - касательная в точке A. Тогда угол CAB - это угол между касательной и хордой. Если CA касается окружности, то угол, который эта касательная образует с хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между сторонами угла. Но здесь CA - одна из сторон угла, а не касательная. Читаем внимательно: