477 Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, ка- кая команда первой будет владеть мячом. Шансы у команд равны. В серии из пяти матчей между командой «Мотор» и командой «Стартёр» три раза мяч до- ставался «Мотору». Найдите вероятность того, что в будущем году в такой же серии матчей повторится то же самое — три раза мяч достанется «Мотору»

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность наступления определенного количества событий в серии независимых испытаний.

Формула Бернулли выглядит следующим образом:

$$P(k, n) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

Где:

• $$P(k, n)$$ — вероятность наступления $$k$$ событий в $$n$$ испытаниях;
• $$C_n^k$$ — количество сочетаний из $$n$$ по $$k$$ (биномиальный коэффициент);
• $$p$$ — вероятность успеха в одном испытании;
• $$n$$ — общее количество испытаний;
• $$k$$ — количество успехов.

В данной задаче:

• $$n = 5$$ (количество матчей в серии);
• $$k = 3$$ (количество раз, когда мяч доставался «Мотору»);
• $$p = 0.5$$ (вероятность того, что «Мотор» завладеет мячом в одном матче, так как шансы у команд равны).

Сначала рассчитаем биномиальный коэффициент $$C_5^3$$:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

$$P(3, 5) = 10 \times (0.5)^3 \times (1-0.5)^{(5-3)} = 10 \times (0.5)^3 \times (0.5)^2$$ $$P(3, 5) = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 10 \times 0.03125 = 0.3125$$

Таким образом, вероятность того, что в будущем году в такой же серии матчей мяч три раза достанется «Мотору», составляет 0.3125.

Ответ: 0.3125