Переменный конденсатор соединен с источником постоянной ЭДС. Подвижные пластины вводят так, что площадь перекрытия пластин S ~ t² (t - время). При этом в цепи течет ток I ~ tⁿ. Найти значение n.

Решение:

ЭДС источника постоянна, обозначим её \( \mathcal{E} \).

Для конденсатора справедливо соотношение: \( q = C \cdot \mathcal{E} \), где \( q \) - заряд на обкладках конденсатора, \( C \) - его ёмкость.

Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой: \( C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \), где \( \varepsilon_0 \) - диэлектрическая проницаемость вакуума, \( S \) - площадь перекрытия пластин, \( d \) - расстояние между пластинами.

По условию, площадь перекрытия пластин \( S \) изменяется пропорционально квадрату времени: \( S \sim t^2 \). Пусть \( S = k_1 t^2 \), где \( k_1 \) - коэффициент пропорциональности.

Тогда ёмкость конденсатора также изменяется со временем: \( C = \frac{\varepsilon_0 k_1 t^2}{d} = k_2 t^2 \), где \( k_2 = \frac{\varepsilon_0 k_1}{d} \) - новый коэффициент пропорциональности.

Заряд на обкладках конденсатора будет меняться пропорционально ёмкости: \( q = C \cdot \mathcal{E} = (k_2 t^2) \cdot \mathcal{E} = (k_2 \mathcal{E}) t^2 \). Таким образом, \( q \sim t^2 \).

Сила тока в цепи связана с изменением заряда по формуле: \( I = \frac{dq}{dt} \).

Продифференцируем выражение для заряда по времени:

\( I = \frac{d}{dt} (k_2 \mathcal{E} t^2) = k_2 \mathcal{E} \frac{d}{dt} (t^2) = k_2 \mathcal{E} (2t) = (2 k_2 \mathcal{E}) t \).

Следовательно, сила тока в цепи изменяется пропорционально первой степени времени: \( I \sim t \).

По условию, ток в цепи \( I \sim t^n \).

Сравнивая полученный результат \( I \sim t \) с условием \( I \sim t^n \), получаем, что \( n = 1 \).

Ответ: n = 1