Сначала раскроем скобку, написав причастие с НЕ слитно, так как оно не имеет зависимых слов и противопоставления.
Морфологический разбор причастия недремлющий:
I. Недремлющий (какой?) — причастие.
II. Начальная форма — недремлющий. Постоянные признаки: действительное, настоящего времени, несовершенного вида. Непостоянные признаки: именительный падеж, единственное число, мужской род.
III. В предложении является определением.
Предложение с раскрытой скобкой и пропущенной запятой:
Онегин едет на бульвар и там гуляет на просторе, пока недремлющий брегет не прозвонит ему обед.
Ответ: 1. Недремлющий. 2. Онегин едет на бульвар и там гуляет на просторе, пока недремлющий брегет не прозвонит ему обед.