1305 Периметр четырёхугольника MNPQ относится к периметру подобного ему четырёхугольника М₁₁PQ1 как 3 : 5. Длина стороны 1- MN = 7 см, а длина P1Q1 на 5 см больше длины стороны М.М. Найдите длину стороны РQ.

Пошаговое решение:

• Пусть сторона M₁N₁ равна x см. Тогда сторона P₁Q₁ равна (x + 5) см.
• Так как четырёхугольники MNPQ и M₁N₁P₁Q₁ подобны, отношение их периметров равно отношению соответствующих сторон. Следовательно, отношение MN к M₁N₁ равно отношению PQ к P₁Q₁.
• Запишем отношение периметров: \[ \frac{P_{MNPQ}}{P_{M_1N_1P_1Q_1}} = \frac{3}{5} \]
• Так как отношение периметров равно отношению соответствующих сторон, можем записать: \[ \frac{MN}{M_1N_1} = \frac{3}{5} \]
• Подставим известное значение MN = 7 см: \[ \frac{7}{x} = \frac{3}{5} \]
• Решим уравнение для x: \[ x = \frac{7 \cdot 5}{3} = \frac{35}{3} \] см. Следовательно, M₁N₁ = 35/3 см.
• Теперь найдём сторону P₁Q₁: \[ P_1Q_1 = x + 5 = \frac{35}{3} + 5 = \frac{35}{3} + \frac{15}{3} = \frac{50}{3} \] см
• Запишем отношение для сторон PQ и P₁Q₁: \[ \frac{PQ}{P_1Q_1} = \frac{3}{5} \]
• Подставим известное значение P₁Q₁ = 50/3 см: \[ \frac{PQ}{\frac{50}{3}} = \frac{3}{5} \]
• Решим уравнение для PQ: \[ PQ = \frac{3}{5} \cdot \frac{50}{3} = \frac{3 \cdot 50}{5 \cdot 3} = \frac{150}{15} = 10 \] см

Ответ: 10 см.