Периметр четырёхугольника равен 48, одна из его сторон равна 16, а другая — 10. Найдите большую из оставшихся сторон этого четырёхугольника, если известно, что в него можно вписать окружность.

Решение:

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, сумма длин противоположных сторон равна.

Пусть стороны четырёхугольника будут \(a, b, c, d\). Периметр \(P = 48\).

Нам дано, что одна сторона равна 16, а другая — 10. Рассмотрим два случая, какие это стороны.

Случай 1: Данные стороны являются противоположными.

Пусть \(a = 16\) и \(c = 10\).

По свойству описанного четырёхугольника: \(a + c = b + d\).

\(16 + 10 = b + d\)

\(26 = b + d\)

Периметр \(P = a + c + b + d = 16 + 10 + 26 = 52\).

Однако, по условию периметр равен 48. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Данные стороны являются соседними.

Пусть \(a = 16\) и \(b = 10\).

Тогда по свойству описанного четырёхугольника: \(a + c = b + d\).

Периметр \(P = a + b + c + d = 48\).

Подставим известные значения: \(16 + 10 + c + d = 48\).

\(26 + c + d = 48\).

\(c + d = 48 - 26 = 22\).

Мы также знаем, что \(a + c = b + d\).

\(16 + c = 10 + d\).

Из этого уравнения выразим \(d\): \(d = 16 + c - 10 = c + 6\).

Теперь подставим это выражение для \(d\) в уравнение \(c + d = 22\):

\(c + (c + 6) = 22\)

\(2c + 6 = 22\)

\(2c = 22 - 6\)

\(2c = 16\)

\(c = 8\).

Теперь найдём \(d\) используя \(d = c + 6\):

\(d = 8 + 6 = 14\).

Таким образом, оставшиеся стороны равны 8 и 14. Большая из них — 14.

Проверим: стороны 16, 10, 8, 14. Периметр: \(16+10+8+14 = 48\). Сумма противоположных сторон: \(16+8 = 24\), \(10+14 = 24\). Свойство выполняется.

Ответ: 14