Периметр параллелограмма равен 34. Сумма диагоналей равна 24. AD = 10. Найдите большую диагональ параллелограмма. Округлите до целого.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, в котором AD = 10. Так как периметр равен 34, то

$$ 2(AD + AB) = 34 $$ $$ AD + AB = 17 $$ $$ 10 + AB = 17 $$ $$ AB = 7 $$

Пусть AC и BD - диагонали параллелограмма, причём AC > BD. По условию,

$$ AC + BD = 24 $$

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

$$ AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2) $$

Выразим BD через AC:

$$ BD = 24 - AC $$

Подставим в уравнение:

$$ AC^2 + (24 - AC)^2 = 2(7^2 + 10^2) $$ $$ AC^2 + 576 - 48AC + AC^2 = 2(49 + 100) $$ $$ 2AC^2 - 48AC + 576 = 298 $$ $$ 2AC^2 - 48AC + 278 = 0 $$ $$ AC^2 - 24AC + 139 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-24)^2 - 4 cdot 1 cdot 139 = 576 - 556 = 20 $$ $$ AC_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{24 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 12 \pm \sqrt{5} $$

Тогда

$$ AC_1 = 12 + \sqrt{5} \approx 12 + 2.236 = 14.236 $$ $$ AC_2 = 12 - \sqrt{5} \approx 12 - 2.236 = 9.764 $$

Так как AC > BD, то большая диагональ равна $$12 + \sqrt{5}$$. Округлив до целого, получим 14.

Ответ: 14