089 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Пусть (P) - периметр правильного треугольника, а (a) - его сторона. Тогда (P = 3a). Дано, что (P = 18) см, следовательно, (a = rac{18}{3} = 6) см.

Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен (R = rac{a}{sqrt{3}}). Подставим значение стороны: (R = rac{6}{sqrt{3}} = 2sqrt{3}) см.

Теперь найдем сторону квадрата, вписанного в эту же окружность. Пусть сторона квадрата равна (b). Тогда диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть (d = 2R = 4sqrt{3}) см.

Сторона квадрата связана с диагональю как (b = rac{d}{sqrt{2}}). Подставим значение диагонали: (b = rac{4sqrt{3}}{sqrt{2}} = 2sqrt{6}) см.

Ответ: Сторона квадрата равна (2sqrt{6}) см.