Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

1. Найдем сторону правильного треугольника. Периметр правильного треугольника равен сумме длин его сторон, а так как треугольник правильный, то все его стороны равны. Обозначим сторону треугольника как a. Тогда:

$$P = 3a$$

$$18 = 3a$$

$$a = 6 \text{ см}$$

2. Найдем радиус окружности, описанной около правильного треугольника. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

$$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$

3. Найдем сторону квадрата, вписанного в эту же окружность. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть $$2R$$. Пусть сторона квадрата равна b. Тогда по теореме Пифагора:

$$b^2 + b^2 = (2R)^2$$

$$2b^2 = (4\sqrt{3})^2$$

$$2b^2 = 16 \cdot 3 = 48$$

$$b^2 = 24$$

$$b = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}$$

4. Найдем площадь квадрата. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

$$S = b^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$$

Ответ: 24