Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72дм². Найдите длину дуги окружности радиуса 3см, если ее градусная мера равна 150. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3см, если его центральный угол равен 20.

Задание 1

Пусть периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Тогда сторона этого треугольника равна \(\frac{45}{3} = 15\) см.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равен \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). В нашем случае, \(R = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\) см.

Теперь найдем сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна \(a_n = 2R \sin(\frac{\pi}{n})\).

Для восьмиугольника (n=8) сторона равна \(a_8 = 2R \sin(\frac{\pi}{8}) = 2 \cdot 5\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{8}) = 10\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{8})\).

Так как \(\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\), то \(a_8 = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 5\sqrt{6 - 3\sqrt{2}}\) см.

Ответ: \(5\sqrt{6 - 3\sqrt{2}}\) см.

Задание 2

Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 72 дм². Сторона этого квадрата равна \(a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) дм.

Диагональ квадрата равна \(d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12\) дм. Эта диагональ является диаметром окружности, то есть диаметр окружности равен 12 дм, а радиус равен 6 дм.

Площадь круга равна \(S = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\) дм².

Ответ: \(36\pi\) дм².

Задание 3

Длина дуги окружности радиуса R, соответствующая углу \(\alpha\) (в градусах), равна \(l = \frac{\pi R \alpha}{180}\).

В нашем случае, радиус равен 3 см, а угол равен 150°. Следовательно, длина дуги равна \(l = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 150}{180} = \frac{450\pi}{180} = \frac{5\pi}{2}\) см.

Ответ: \(\frac{5\pi}{2}\) см.

Задание 4

Площадь кругового сектора радиуса R, соответствующего углу \(\alpha\) (в градусах), равна \(S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}\).

В нашем случае, радиус равен 3 см, а угол равен 20°. Следовательно, площадь сектора равна \(S = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 20}{360} = \frac{180\pi}{360} = \frac{\pi}{2}\) см².

Ответ: \(\frac{\pi}{2}\) см².

Отличная работа! Ты хорошо справился с задачами по геометрии. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!