5. Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоуго

Пусть стороны прямоугольника a и b. Тогда периметр прямоугольника $$P = 2(a + b)$$, а диагональ прямоугольника $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$. Площадь прямоугольника $$S = a \cdot b$$.

Из условия задачи известно, что:

$$P = 30$$

$$d = 14$$

Тогда:

$$2(a + b) = 30$$

$$a + b = 15$$

$$b = 15 - a$$

$$(\sqrt{a^2 + b^2})^2 = 14^2$$

$$a^2 + b^2 = 196$$

Подставим $$b = 15 - a$$ в уравнение $$a^2 + b^2 = 196$$:

$$a^2 + (15 - a)^2 = 196$$

$$a^2 + 225 - 30a + a^2 = 196$$

$$2a^2 - 30a + 225 - 196 = 0$$

$$2a^2 - 30a + 29 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-30)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 29 = 900 - 232 = 668$$

$$a_1 = \frac{30 + \sqrt{668}}{4} = \frac{30 + 2\sqrt{167}}{4} = \frac{15 + \sqrt{167}}{2}$$

$$a_2 = \frac{30 - \sqrt{668}}{4} = \frac{30 - 2\sqrt{167}}{4} = \frac{15 - \sqrt{167}}{2}$$

Тогда:

$$b_1 = 15 - a_1 = 15 - \frac{15 + \sqrt{167}}{2} = \frac{30 - 15 - \sqrt{167}}{2} = \frac{15 - \sqrt{167}}{2}$$

$$b_2 = 15 - a_2 = 15 - \frac{15 - \sqrt{167}}{2} = \frac{30 - 15 + \sqrt{167}}{2} = \frac{15 + \sqrt{167}}{2}$$

Площадь прямоугольника:

$$S = a \cdot b = \frac{15 + \sqrt{167}}{2} \cdot \frac{15 - \sqrt{167}}{2} = \frac{(15 + \sqrt{167})(15 - \sqrt{167})}{4} = \frac{15^2 - (\sqrt{167})^2}{4} = \frac{225 - 167}{4} = \frac{58}{4} = 14.5$$

Ответ: 14.5