3. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 1

Составлю систему уравнений, где:

a - длина прямоугольника;

b - ширина прямоугольника.

Тогда:

$$ \begin{cases} 2(a+b) = 30 \\ a \cdot b = 56 \end{cases} $$ $$ \implies $$ $$ \begin{cases} a+b = 15 \\ a \cdot b = 56 \end{cases} $$ $$ \implies $$ $$ \begin{cases} a = 15 - b \\ (15 - b) \cdot b = 56 \end{cases} $$ $$ \implies $$ $$ \begin{cases} a = 15 - b \\ 15b - b^2 = 56 \end{cases} $$ $$ \implies $$ $$ \begin{cases} a = 15 - b \\ b^2 - 15b + 56 = 0 \end{cases} $$

Решаю квадратное уравнение:

$$b^2 - 15b + 56 = 0$$

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$$

$$b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Если $$b = 8$$, то $$a = 15 - 8 = 7$$.

Если $$b = 7$$, то $$a = 15 - 7 = 8$$.

Значит, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Ответ: 7 см и 8 см.