2. Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а его гипотенуза равна 41 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Периметр P равен сумме длин всех сторон, то есть $$P = a + b + c$$. Площадь S прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть $$S = \frac{1}{2}ab$$.

1. Выразим сумму катетов через периметр и гипотенузу:$$a + b = P - c = 90 - 41 = 49 \text{ см}$$.
2. Выразим один из катетов, например, a, через другой: $$a = 49 - b$$.
3. Используем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$$$(49 - b)^2 + b^2 = 41^2$$$$2401 - 98b + b^2 + b^2 = 1681$$$$2b^2 - 98b + 720 = 0$$$$b^2 - 49b + 360 = 0$$
4. Решим квадратное уравнение относительно b:$$b = \frac{-(-49) \pm \sqrt{(-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360}}{2 \cdot 1} = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 1440}}{2} = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{49 \pm 31}{2}$$

   Получаем два возможных значения для b:

   $$b_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ см}$$$$b_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}$$
5. Найдем соответствующие значения для a:$$a_1 = 49 - 40 = 9 \text{ см}$$$$a_2 = 49 - 9 = 40 \text{ см}$$

   Таким образом, катеты равны 9 см и 40 см.

6. Вычислим площадь треугольника:$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180 \text{ см}^2$$

Ответ: 180 $$см^2$$