3. Периметр прямоугольного треугольника равен 40 см, а один из катетов 8 см. Найдите другой катет и гипотенузу.

Для решения задачи нам понадобятся знания о прямоугольных треугольниках и их свойствах, а также умение применять теорему Пифагора.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Периметр P равен сумме длин всех сторон: $$P = a + b + c$$.

По условию, один из катетов (пусть это будет a) равен 8 см, а периметр равен 40 см. Нам нужно найти другой катет (b) и гипотенузу (c).

Запишем, что нам известно:

• a = 8 \text{ см}
• P = 40 \text{ см}

Тогда $$P = a + b + c = 40$$. Подставим известное значение a:

$$8 + b + c = 40$$

$$b + c = 40 - 8$$

$$b + c = 32$$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$. Подставим известное значение a:

$$8^2 + b^2 = c^2$$

$$64 + b^2 = c^2$$

Выразим c через b из уравнения $$b + c = 32$$:

$$c = 32 - b$$

Подставим это выражение для c в теорему Пифагора:

$$64 + b^2 = (32 - b)^2$$

$$64 + b^2 = 1024 - 64b + b^2$$

$$64b = 1024 - 64$$

$$64b = 960$$

$$b = \frac{960}{64} = 15 \text{ см}$$

Теперь найдем гипотенузу c:

$$c = 32 - b = 32 - 15 = 17 \text{ см}$$

Итак, мы нашли другой катет и гипотенузу:

• Другой катет: b = 15 см
• Гипотенуза: c = 17 см

Ответ: Другой катет равен 15 см, гипотенуза равна 17 см.