Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 42 см. Высота СН, опущенная на основание АВ, составляет 15 см. Найти периметр треугольника ACH.

Решение:

Треугольник ABC — равнобедренный, значит, высота CH, опущенная на основание AB, является также медианой. Следовательно, H — середина AB, и $$AH = HB$$.

Периметр треугольника ABC равен 42 см. Периметр — это сумма длин всех сторон: $$P_{ABC} = AB + BC + AC$$.

Поскольку треугольник равнобедренный, $$AC = BC$$. Обозначим $$AC = BC = x$$. Тогда $$AB = 42 - 2x$$.

Так как H — середина AB, $$AH = \frac{AB}{2} = \frac{42 - 2x}{2} = 21 - x$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

$$x^2 = (21 - x)^2 + 15^2$$

$$x^2 = 441 - 42x + x^2 + 225$$

$$0 = 441 - 42x + 225$$

$$42x = 666$$

$$x = \frac{666}{42} = \frac{111}{7}$$

Теперь найдём длину стороны $$AH$$:

$$AH = 21 - x = 21 - \frac{111}{7} = \frac{147 - 111}{7} = \frac{36}{7}$$

Периметр треугольника ACH равен сумме длин его сторон:

$$P_{ACH} = AC + CH + AH$$

$$P_{ACH} = \frac{111}{7} + 15 + \frac{36}{7}$$

$$P_{ACH} = \frac{111 + 36}{7} + 15$$

$$P_{ACH} = \frac{147}{7} + 15$$

$$P_{ACH} = 21 + 15 = 36$$

Ответ: 36 см.