Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а боковая сторона равна 41 см. Найдите площадь треугольника. Ответ запишите в см².

Для решения задачи необходимо вспомнить формулу площади треугольника и свойства равнобедренного треугольника.

1. Переведем периметр из метров в сантиметры: $$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$$.

2. Найдем основание треугольника. Так как треугольник равнобедренный, две его стороны равны. Пусть боковые стороны равны 41 см каждая, а основание равно x см. Тогда периметр равен сумме всех сторон:

   $$41 + 41 + x = 100$$

   $$82 + x = 100$$

   $$x = 100 - 82$$

   $$x = 18 \text{ см}$$.

3. Вычислим высоту треугольника, проведенную к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Поэтому она делит основание пополам.

   Обозначим высоту как h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

   $$h^2 + (\frac{x}{2})^2 = 41^2$$

   $$h^2 + (\frac{18}{2})^2 = 41^2$$

   $$h^2 + 9^2 = 41^2$$

   $$h^2 + 81 = 1681$$

   $$h^2 = 1681 - 81$$

   $$h^2 = 1600$$

   $$h = \sqrt{1600}$$

   $$h = 40 \text{ см}$$.

4. Теперь найдем площадь треугольника по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 40$$

   $$S = 9 \cdot 40$$

   $$S = 360 \text{ см}^2$$.

Ответ: 360