Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона - 78. Найдите площадь тре- угольника.

Решение:

Давай решим эту задачу по шагам.

Что известно:

• Треугольник равнобедренный.
• Периметр (P) = 216.
• Боковая сторона = 78.

Что нужно найти:

• Площадь треугольника.

Находим основание:

У равнобедренного треугольника две стороны равны (боковые), а третья — основание.

Периметр = сумма всех сторон.

$$P = 2 \times (\textrm{боковая сторона}) + \textrm{основание}$$

Подставляем известные значения:

$$216 = 2 \times 78 + \textrm{основание}$$

$$216 = 156 + \textrm{основание}$$

Находим основание:

$$\textrm{основание} = 216 - 156$$

$$\textrm{основание} = 60$$

Итак, основание треугольника равно 60.

Находим высоту:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам и является медианой и биссектрисой.

Получился прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — боковая сторона (78).
• Один катет — половина основания (60 / 2 = 30).
• Второй катет — высота (h).

Применим теорему Пифагора:

$$(\textrm{половина основания})^2 + h^2 = (\textrm{боковая сторона})^2$$

$$30^2 + h^2 = 78^2$$

$$900 + h^2 = 6084$$

Находим $$h^2$$:

$$h^2 = 6084 - 900$$

$$h^2 = 5184$$

Находим высоту h:

$$h = \textrm{sqrt}(5184)$$

$$h = 72$$

Высота треугольника равна 72.

Находим площадь:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

$$S = \frac{1}{2} \times \textrm{основание} \times h$$

$$S = \frac{1}{2} \times 60 \times 72$$

$$S = 30 \times 72$$

$$S = 2160$$

Ответ: 2160