Периметр равнобедренного треугольника равен 26см, разность двух сторон равна 5 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

• Периметр \( P = 26 \) см.
• Разность двух сторон = 5 см.
• Один из внешних углов острый.

Найти:

Стороны треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Возможны два случая разности сторон:

Случай 1: Разность между боковой и основанием.

1. Пусть боковые стороны равны \( a \), а основание — \( b \).
2. Из условия \( a - b = 5 \) см.
3. Периметр: \( 2a + b = 26 \) см.
4. Выразим \( b \) из первого уравнения: \( b = a - 5 \).
5. Подставим во второе уравнение:
   • \( 2a + (a - 5) = 26 \)
   • \( 3a = 31 \)
   • \( a = \frac{31}{3} \) см.
6. Найдем основание: \( b = \frac{31}{3} - 5 = \frac{31 - 15}{3} = \frac{16}{3} \) см.
7. Проверим условие острого внешнего угла. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Если угол при основании острый, то и внешний угол при основании будет тупым. Если угол при вершине острый, то углы при основании будут тупыми, а внешний угол при вершине — острым.
8. Если углы при основании \( \alpha \), а угол при вершине \( \beta \), то \( \alpha = \beta + 8° \) (если \( \alpha \) тупой) или \( \alpha = \beta - 8° \) (если \( \alpha \) острый).
9. В данном случае, если \( a = \frac{31}{3} \) и \( b = \frac{16}{3} \), то углы при основании будут больше угла при вершине. Пусть \( \alpha \) — угол при основании, \( \beta \) — угол при вершине. \( \cos \alpha = \frac{b/2}{a} = \frac{16/6}{31/3} = \frac{8/3}{31/3} = \frac{8}{31} \). \( \alpha = \arccos(\frac{8}{31}) \approx 75.1° \). \( \beta = 180° - 2 \cdot 75.1° \approx 29.8° \). Внешний угол при вершине \( 180° - 29.8° = 150.2° \) (тупой). Внешний угол при основании \( 180° - 75.1° = 104.9° \) (тупой). Этот случай не подходит, так как внешний угол должен быть острым.

Случай 2: Разность между боковыми сторонами (что невозможно для равнобедренного треугольника) или разность между основанием и боковой стороной, когда основание больше.

1. Пусть боковые стороны равны \( a \), а основание — \( b \).
2. Из условия \( b - a = 5 \) см.
3. Периметр: \( 2a + b = 26 \) см.
4. Выразим \( b \) из первого уравнения: \( b = a + 5 \).
5. Подставим во второе уравнение:
   • \( 2a + (a + 5) = 26 \)
   • \( 3a = 21 \)
   • \( a = 7 \) см.
6. Найдем основание: \( b = 7 + 5 = 12 \) см.
7. Стороны треугольника: 7 см, 7 см, 12 см.
8. Проверим условие острого внешнего угла. Углы при основании равны. \( \cos \alpha = \frac{b/2}{a} = \frac{12/2}{7} = \frac{6}{7} \). \( \alpha = \arccos(\frac{6}{7}) \approx 31.0° \) (острый).
9. Угол при вершине: \( \beta = 180° - 2 \cdot 31.0° = 180° - 62.0° = 118.0° \) (тупой).
10. Внешний угол при основании: \( 180° - 31.0° = 149.0° \) (тупой).
11. Внешний угол при вершине: \( 180° - 118.0° = 62.0° \) (острый).
12. Этот случай подходит, так как внешний угол при вершине острый.

Ответ: Стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 12 см.