периметр равнобедренного треугольника равен 30, а разность двух его сторон равна 3. Найдите стороны треугольника, если угол при основании меньше 60.

Решение:

Обозначим стороны равнобедренного треугольника как \(a\), \(a\) и \(b\), где \(a\) — боковые стороны, а \(b\) — основание.

По условию периметр равен 30:

\[ 2a + b = 30 \]

Разность двух сторон равна 3. Возможны два случая:

1. Случай 1: Разность боковой стороны и основания.

\( a - b = 3 \) или \( b - a = 3 \).

Подслучай 1.1: \( a - b = 3 \)

Из первого уравнения: \( b = 30 - 2a \).

Подставим во второе уравнение:

\[ a - (30 - 2a) = 3 \]\[ a - 30 + 2a = 3 \]\[ 3a = 33 \]\[ a = 11 \]\[ b = 30 - 2(11) = 30 - 22 = 8 \]

Стороны: 11, 11, 8.

Проверим условие угла при основании. По теореме косинусов для угла при основании \(\alpha\) напротив стороны \(b\):

\[ b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) \]\[ \cos(\alpha) = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2} = \frac{2(11^2) - 8^2}{2(11^2)} = \frac{2(121) - 64}{2(121)} = \frac{242 - 64}{242} = \frac{178}{242} = \frac{89}{121} \approx 0.7355 \]

Так как \(\cos(\alpha) \approx 0.7355 > 0 \), то угол \(\alpha\) острый. \(\alpha = \arccos(89/121) \approx 42.67^{\circ} \). Это меньше 60 градусов.

Подслучай 1.2: \( b - a = 3 \)

Из первого уравнения: \( b = 30 - 2a \).

Подставим во второе уравнение:

\[ (30 - 2a) - a = 3 \]\[ 30 - 3a = 3 \]\[ 27 = 3a \]\[ a = 9 \]\[ b = 30 - 2(9) = 30 - 18 = 12 \]

Стороны: 9, 9, 12.

Проверим условие угла при основании. По теореме косинусов:

\[ \cos(\alpha) = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2} = \frac{2(9^2) - 12^2}{2(9^2)} = \frac{2(81) - 144}{2(81)} = \frac{162 - 144}{162} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9} \approx 0.1111 \]

Так как \(\cos(\alpha) \approx 0.1111 > 0 \), то угол \(\alpha\) острый. \(\alpha = \arccos(1/9) \approx 83.62^{\circ} \). Это больше 60 градусов. Этот случай не подходит.

1. Случай 2: Разность боковых сторон.

\( a - a = 3 \)

\( 0 = 3 \) — это невозможно.

Таким образом, подходит только первый случай.

Ответ: Стороны треугольника равны 11, 11 и 8.