Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию - 15 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Периметр треугольника \( P = AB + BC + AC = 90 \) см. Высота, проведённая к основанию, \( h = BD = 15 \) см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, \( AD = DC = \frac{AC}{2} \).

Поскольку \( AB = BC \), то \( 2AB + AC = 90 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \).

Выразим \( AC \) через \( AB \): \( AC = 90 - 2AB \).

Тогда \( AD = \frac{90 - 2AB}{2} = 45 - AB \).

Подставим в теорему Пифагора:

\[ AB^2 = (45 - AB)^2 + 15^2 \]

\[ AB^2 = 45^2 - 2 \cdot 45 \cdot AB + AB^2 + 225 \]

\[ AB^2 = 2025 - 90AB + AB^2 + 225 \]

\[ 0 = 2025 - 90AB + 225 \]

\[ 90AB = 2025 + 225 \]

\[ 90AB = 2250 \]

\[ AB = \(\frac{2250}{90}\) = 25 \) см.

Так как \( AB = BC \), то \( BC = 25 \) см.

Теперь найдём основание \( AC \):

\[ AC = 90 - 2AB = 90 - 2 \(\cdot\) 25 = 90 - 50 = 40 \) см.

Проверим, является ли треугольник с такими сторонами равнобедренным и соответствует ли высота:

\( AD = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см.

В прямоугольном треугольнике ABD: \( AD^2 + BD^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \).

\( AB^2 = 25^2 = 625 \).

Теорема Пифагора выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 25 см, 25 см и 40 см.