Периметр треугольника равен 30 см. Найдите угол, противолежащий стороне, равной 14 см, если биссектриса треугольника делит её в отношении 3:5.

По теореме о биссектрисе она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Значит, две другие стороны относятся как 3:5.

Их сумма равна \(30-14=16\) см. Всего в отношении \(3:5\) — 8 частей, поэтому длины сторон равны \(16\cdot\frac{3}{8}=6\) см и \(16\cdot\frac{5}{8}=10\) см.

Обозначим искомый угол через \(A\). По теореме косинусов:

\(\cos A=\frac{6^2+10^2-14^2}{2\cdot6\cdot10}=\frac{36+100-196}{120}=0\), следовательно, \(A=90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).