Перпендикуляр, который проведён из вершины прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 7: 3. Вычисли острый угол между диагоналями прямоугольника.

Решение:

1. Обозначения: Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB = CD и BC = AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Проведем перпендикуляр OE из вершины C на диагональ BD, где E лежит на BD.
2. Условие: По условию, угол C делится на два угла в отношении 7:3. Так как угол C прямой (90°), то ∠ BCE = ½ × 7 / (7+3) × 90° = 31.5° и ∠ ECD = ½ × 3 / (7+3) × 90° = 13.5°.
3. Треугольник BCD: В прямоугольном треугольнике BCD, ∠ CBD = 90° - ∠ BDC. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, т.е. AO = BO = CO = DO.
4. Треугольник COD: В равнобедренном треугольнике COD, ∠ OCD = ∠ ODC.
5. Расчет углов: Угол между диагоналями — это угол ∠ DOC (тупой) или ∠ BOC (острый). Так как ∠ BCD = 90°, то ∠ BCE = 63° и ∠ ECD = 27°.
6. Нахождение угла: В треугольнике CDE, ∠ CED = 90°. ∠ CDE = ∠ BDC. ∠ DCE = 27°. Сумма углов в треугольнике CDE равна 180°. Следовательно, ∠ CDE = 180° - 90° - 27° = 63°.
7. Угол между диагоналями: Угол ∠ DOC = 180° - ∠ CDE = 180° - 63° = 117°. Острый угол между диагоналями — это ∠ BOC = 180° - 117° = 63°.

Ответ: 63°