Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 18 см.

Пусть дан перпендикуляр, опущенный из точки на окружности на ее диаметр. Обозначим длину меньшего отрезка диаметра как x, тогда длина большего отрезка будет x + 27. Длина перпендикуляра равна 18 см.

Применим теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике (или теорему о среднем геометрическом). Высота, опущенная из прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае, проекции катетов на гипотенузу это отрезки диаметра.

Тогда имеем:

$$18^2 = x(x + 27)$$ $$324 = x^2 + 27x$$ $$x^2 + 27x - 324 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = 27^2 - 4(1)(-324) = 729 + 1296 = 2025$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-27 + \sqrt{2025}}{2} = \frac{-27 + 45}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{-27 - \sqrt{2025}}{2} = \frac{-27 - 45}{2} = \frac{-72}{2} = -36$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то x = 9 см.

Теперь найдем длину большего отрезка:

$$x + 27 = 9 + 27 = 36 \text{ см}$$

Тогда длина диаметра равна:

$$9 + 36 = 45 \text{ см}$$

Радиус окружности равен половине диаметра:

$$R = \frac{45}{2} = 22.5 \text{ см}$$

Ответ: 22.5 см