8. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 56 и 32. Найдите среднюю линию этой трапеции. 1) 48 2) 112 3) 56 4) 24 В заданиях 9-11 запишите полное решение. 9. Средняя линия трапеции равна 20, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции. 10. В равнобедренной трапеции высота образует с боковой стороной угол в 30°, а её основания равны 6 см и 16 см. Чему равен периметр трапеции? 11. В равнобедренной трапеции АВСD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне, угол D равен 60°, AD = 40см, ВС = 15 см. Найдите периметр трапеции.

8.

Пусть большее основание трапеции равно a. Тогда, согласно условию, a = 56 + 32 = 88.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Обозначим меньшее основание за b. Так как трапеция равнобедренная, то перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию.

Тогда b = 32.

Средняя линия m = (a + b) / 2 = (88 + 32) / 2 = 120 / 2 = 60.

Среди предложенных вариантов ответа нет числа 60. Вероятно, в условии задачи есть опечатка. Если бы перпендикуляр делил большее основание на части 56 и x, а средняя линия была равна 56, то $$56 = \frac{56+x+x}{2}$$ $$112 = 56 + 2x$$ $$56 = 2x$$ $$x=28$$ В этом случае большая сторона равна 56 + 28 = 84, а меньшая равна 28.

Ответ: 3) 56 – это ошибочный вариант, если только перпендикуляр делит большее основание на части 28 и 56.

9.

Пусть меньшее основание трапеции равно x, тогда большее основание равно x + 4.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть

$$20 = \frac{x + (x + 4)}{2}$$ $$40 = 2x + 4$$ $$36 = 2x$$ $$x = 18$$

Тогда большее основание трапеции равно x + 4 = 18 + 4 = 22.

Ответ: 22

10.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC – основания, AD = 16 см, BC = 6 см. Высота BH образует с боковой стороной AB угол в 30°.

В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH = 30°, следовательно, угол BAH = 90° - 30° = 60°.

Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC) / 2 = (16 - 6) / 2 = 10 / 2 = 5 см.

В прямоугольном треугольнике ABH катет AH равен половине гипотенузы AB (так как лежит против угла в 30°), то есть AB = 2 * AH = 2 * 5 = 10 см.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = AB + BC + CD + AD. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD = 10 см.

P = 10 + 6 + 10 + 16 = 42 см.

Ответ: 42 см

11.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC – основания, AD = 40 см, BC = 15 см, угол D = 60°, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD.

Проведем высоту CK к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK: угол CDK = 60°, следовательно, угол DCK = 90° - 60° = 30°.

KD = (AD - BC) / 2 = (40 - 15) / 2 = 25 / 2 = 12,5 см.

Так как в прямоугольном треугольнике CDK катет KD лежит против угла DCK в 30°, то CD = 2 * KD = 2 * 12,5 = 25 см.

Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов треугольника равна 180°. Угол ACD = 90°, угол CDA = 60°, следовательно, угол CAD = 180° - 90° - 60° = 30°.

Треугольник ABC равнобедренный, так как углы при основании AD равны. Следовательно, AC = CD = 25 см.

Периметр трапеции ABCD равен AB + BC + CD + AD. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD = 25 см.

P = 25 + 15 + 25 + 40 = 105 см.

Ответ: 105 см