Перпендикулярные прямые a и b пересекаются в точке O. Точка K одной из них одинаково удалена от двух точек A и N другой. Дополните доказательство равенства отрезков OA и ON.

Решение:

Дано:

• Прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны: \( a \perp b \).
• Точка пересечения прямых \(a\) и \(b\) — \(O\).
• Точка \(K\) лежит на прямой \(a\).
• Расстояние от \(K\) до \(A\) равно расстоянию от \(K\) до \(N\): \( KA = KN \).
• Точки \(A\) и \(N\) лежат на прямой \(b\).

Доказать:

• \( OA = ON \)

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle OAK \) и \( \triangle ONK \).

1. \( OK \) — общая сторона для обоих треугольников.
2. \( \angle OAK = \angle ONK = 90^{\circ} \), так как прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны, а \(OA\) и \(ON\) являются отрезками прямой \(b\), а \(OK\) — отрезком прямой \(a\).
3. \( KA = KN \) (по условию).

Таким образом, \( \triangle OAK \) и \( \triangle ONK \) являются прямоугольными треугольниками. По гипотенузе и катету (теорема Пифагора или признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету), \( \triangle OAK = \triangle ONK \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( OA = ON \).

Ответ: \( OA = ON \)