Первая труба опустошает бассейн на 26 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, опустошают этот же бассейн за 24,375 минут. За сколько минут опустошает этот бассейн одна вторая труба?

Решение:

Пусть \( t_2 \) — время, за которое вторая труба опустошает бассейн (в минутах).

Тогда время, за которое первая труба опустошает бассейн, равно \( t_1 = t_2 + 26 \) минут.

Производительность второй трубы: \( p_2 = \frac{1}{t_2} \) (бассейна в минуту).

Производительность первой трубы: \( p_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_2 + 26} \) (бассейна в минуту).

Производительность обеих труб вместе: \( p_{1+2} = p_1 + p_2 = \frac{1}{t_2 + 26} + \frac{1}{t_2} \).

Время, за которое обе трубы опустошают бассейн вместе, равно \( t_{1+2} = 24,375 \) минут. Следовательно, их совместная производительность: \( p_{1+2} = \frac{1}{24,375} \).

Составим уравнение:

\[ \frac{1}{t_2 + 26} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{24,375} \]\[ \frac{t_2 + (t_2 + 26)}{(t_2 + 26)t_2} = \frac{1}{24,375} \]\[ \frac{2t_2 + 26}{t_2^2 + 26t_2} = \frac{1}{24,375} \]\[ 24,375(2t_2 + 26) = t_2^2 + 26t_2 \]\[ 48,75t_2 + 633,75 = t_2^2 + 26t_2 \]\[ t_2^2 + 26t_2 - 48,75t_2 - 633,75 = 0 \]\[ t_2^2 - 22,75t_2 - 633,75 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-22,75)^2 - 4 \cdot 1 · (-633,75) \) = \( 517,5625 + 2535 \) = \( 3052,5625 \).

\( \sqrt{D} = 55,25 \).

\( t_2 = \frac{22,75 ± 55,25}{2} \).

Так как время не может быть отрицательным, возьмём положительный корень:

\[ t_2 = \frac{22,75 + 55,25}{2} = \frac{78}{2} = 39 \]

Ответ: 39 минут.