Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение:

Обозначим производительность первой трубы как \( x \) литров в минуту. Тогда производительность второй трубы будет \( x + 16 \) литров в минуту.

Время, за которое первая труба заполнит резервуар объёмом 105 литров, равно \( \frac{105}{x} \) минут.

Время, за которое вторая труба заполнит резервуар объёмом 105 литров, равно \( \frac{105}{x + 16} \) минут.

По условию задачи, первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая труба. Составим уравнение:

\[ \frac{105}{x} - \frac{105}{x + 16} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( x(x + 16) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 105(x + 16) - 105x = 4x(x + 16) \]

Раскроем скобки:

\[ 105x + 1680 - 105x = 4x^2 + 64x \]

Упростим уравнение:

\[ 1680 = 4x^2 + 64x \]

Разделим все члены на 4:

\[ 420 = x^2 + 16x \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 16x - 420 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936 \]

Найдем \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{1936} = 44 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-16 + 44}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14 \]

\( x_2 = \frac{-16 - 44}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30 \)

Так как производительность трубы не может быть отрицательной, мы принимаем положительное значение.

Производительность первой трубы равна 14 литров в минуту.

Проверим:

Время первой трубы: \( \frac{105}{14} = 7.5 \) минуты.

Производительность второй трубы: \( 14 + 16 = 30 \) литров в минуту.

Время второй трубы: \( \frac{105}{30} = 3.5 \) минуты.

Разница во времени: \( 7.5 - 3.5 = 4 \) минуты. Условие задачи выполнено.

Ответ: 14 литров в минуту.