Первоначально все клетки доски 101 × 101 покрашены в белый цвет. Ход состоит в том, что некоторый квадрат 2 × 2 и все его белые клетки перекрашиваются в чёрный цвет, а все его чёрные клетки — в белый. Какое наименьшее число белых клеток может остаться на доске после серии таких ходов?

При каждом ходе в каждом из двух затронутых рядов и каждого из двух затронутых столбцов меняются цвета ровно двух клеток. Поэтому чётность числа белых клеток в каждом ряду и в каждом столбце сохраняется.

Изначально в каждом ряду и столбце 101 белая клетка, то есть их число нечётно. Значит, после ходов в каждом ряду и каждом столбце должно остаться нечётное число белых клеток — как минимум одна. В 101 ряду это даёт не менее 101 белой клетки.

Эта нижняя граница достижима: можно получить доску, на которой белыми останутся клетки главной диагонали, а остальные будут чёрными. В таком расположении в каждом ряду и столбце ровно одна белая клетка. Оно достижимо ходами 2 × 2: разность между начальной доской и этой диагональной расцветкой имеет чётные суммы в каждом ряду и столбце, а такие изменения получаются последовательностью переключений квадратов 2 × 2.

Ответ: 101.