Первообразная функции $$f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x}$$, проходящая через точку $$(\frac{\pi}{2}, 1)$$, имеет вид:

Решение:

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x} \), нужно найти интеграл от этой функции:

\[ \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \sin x \), тогда \( du = \cos x dx \).

Интеграл принимает вид:

\[ \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du \]

Интегрируем:

\[ -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C \]

Подставляем обратно \( u = \sin x \):

\[ -\frac{1}{\sin x} + C \]

Теперь используем условие, что первообразная проходит через точку \( (\frac{\pi}{2}, 1) \). Это значит, что при \( x = \frac{\pi}{2} \), значение функции равно 1.

\[ -\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})} + C = 1 \]

\[ -\frac{1}{1} + C = 1 \]

\[ -1 + C = 1 \]

Находим \( C \):

\[ C = 1 + 1 = 2 \]

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

\[ -\frac{1}{\sin x} + 2 \]

Сравним с предложенными вариантами:

• a. \( \operatorname{tg} x + 1 \)
• b. \( -\operatorname{ctg} x + 1 \)
• c. \( \frac{1}{\sin x} + C \)
• d. \( -\frac{1}{\sin x} + 2 \)

Наш результат совпадает с вариантом d.

Ответ: d.