813. Первой ткачихе для выполнения половины заказа потребуется на 2 дня больше, чем второй для выполнения всего заказа. Вместе они выполнят заказ на 1 день раньше, чем вторая ткачиха, работая отдельно. За сколько дней каждая ткачиха, работая отдельно, может выполнить этот заказ?

Решение:

Пусть x - время, за которое первая ткачиха выполнит весь заказ одна, а y - время, за которое вторая ткачиха выполнит весь заказ одна.

Тогда, согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

1. Первой ткачихе для выполнения половины заказа потребуется на 2 дня больше, чем второй для выполнения всего заказа:
   \[\frac{x}{2} = y + 2\]
2. Вместе они выполнят заказ на 1 день раньше, чем вторая ткачиха, работая отдельно:
   \[\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = y - 1\]

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения выразим x через y:
\[x = 2(y + 2) = 2y + 4\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[\frac{1}{\frac{1}{2y + 4} + \frac{1}{y}} = y - 1\]

Преобразуем левую часть уравнения:

\[\frac{1}{\frac{y + 2y + 4}{y(2y + 4)}} = \frac{y(2y + 4)}{3y + 4} = y - 1\]

Умножим обе части на (3y + 4):

\[y(2y + 4) = (y - 1)(3y + 4)\]

Раскроем скобки:

\[2y^2 + 4y = 3y^2 + 4y - 3y - 4\] \[2y^2 + 4y = 3y^2 + y - 4\]

Перенесем все в правую часть:

\[0 = y^2 - 3y - 4\] \[y^2 - 3y - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\]
\[y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\]
\[y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

Так как время не может быть отрицательным, выбираем y = 4.

Теперь найдем x:
\[x = 2y + 4 = 2 \cdot 4 + 4 = 8 + 4 = 12\]

Таким образом, первая ткачиха выполнит заказ за 12 дней, а вторая - за 4 дня.

Ответ: Первая ткачиха - 12 дней, вторая ткачиха - 4 дня.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!