Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть весь путь составляет \( S \) км. Тогда первую половину пути, \( \frac{S}{2} \) км, автомобиль проехал со скоростью \( v_1 = 34 \) км/ч, а вторую половину пути, \( \frac{S}{2} \) км, — со скоростью \( v_2 = 51 \) км/ч.

Время, затраченное на первую половину пути, равно \( t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{S}{2v_1} \).

Время, затраченное на вторую половину пути, равно \( t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S}{2v_2} \).

Общее время в пути составит \( t = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2} \right) \).

Средняя скорость равна общему расстоянию, делённому на общее время:

\[ v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{S}{S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \]

Подставим значения скоростей:

\[ v_{ср} = \frac{2 \cdot 34 \cdot 51}{34 + 51} = \frac{2 \cdot 34 \cdot 51}{85} \]

Сократим 85 и 51 на 17:

\[ v_{ср} = \frac{2 \cdot 34 \cdot 3}{5} = \frac{204}{5} = 40.8 \]

Таким образом, средняя скорость автомобиля составляет 40.8 км/ч.

Ответ: 40.8 км/ч.