Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Пусть весь путь равен \( 2S \) (так как пути равны, пусть каждый равен \( S \)).

Время, затраченное на первую половину пути:

\[ t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{54} \text{ ч} \]

Время, затраченное на вторую половину пути:

\[ t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{90} \text{ ч} \]

Общее время в пути:

\[ t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{54} + \frac{S}{90} \]

Приведем к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель для 54 и 90 равен 270):

\[ t_{общ} = \frac{5S}{270} + \frac{3S}{270} = \frac{8S}{270} = \frac{4S}{135} \text{ ч} \]

Средняя скорость находится как отношение всего пройденного пути к общему времени:

\[ v_{средняя} = \frac{2S}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{4S}{135}} \]

\[ v_{средняя} = \frac{2S × 135}{4S} = \frac{2 × 135}{4} = \frac{135}{2} = 67.5 \text{ км/ч} \]

Ответ: 67.5