Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Запишите решение и ответ.

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Это классический пример на нахождение средней скорости, где важно не просто сложить скорости, а учесть время, которое автомобиль тратил на каждый участок пути.

Дано:

• Скорость на первой половине пути: v₁ = 84 км/ч
• Скорость на второй половине пути: v₂ = 96 км/ч
• Путь разделен на две равные половины.

Найти:

• Среднюю скорость автомобиля на всем пути: v_ср

Решение:

Средняя скорость находится по формуле: v_ср = Общий путь / Общее время.

Обозначим длину одной половины пути как S. Тогда общий путь будет 2S.

1. Найдем время, затраченное на первую половину пути (t₁):
   Время = Путь / Скорость.
   \[ t₁ = \frac{S}{v₁} = \frac{S}{84} \text{ ч} \]
2. Найдем время, затраченное на вторую половину пути (t₂):
   \[ t₂ = \frac{S}{v₂} = \frac{S}{96} \text{ ч} \]
3. Найдем общее время в пути (t_общ):
   \[ t_{общ} = t₁ + t₂ = \frac{S}{84} + \frac{S}{96} \]

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Разложим числа 84 и 96 на простые множители:

• 84 = 2² ⋅ 3 ⋅ 7
• 96 = 2⁵ ⋅ 3
• Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = 2⁵ ⋅ 3 ⋅ 7 = 32 ⋅ 21 = 672.

Теперь сложим дроби:

\[ t_{общ} = \frac{S \cdot 8}{672} + \frac{S \cdot 7}{672} = \frac{8S + 7S}{672} = \frac{15S}{672} \text{ ч} \]

Важно: перед тем как сокращать, проверим, можно ли сократить 15 и 672. Оба числа делятся на 3:

\[ t_{общ} = \frac{5S}{224} \text{ ч} \]

Теперь найдем среднюю скорость:

\[ v_{ср} = \frac{\text{Общий путь}}{\text{Общее время}} = \frac{2S}{\frac{5S}{224}} \]

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную дробь:

\[ v_{ср} = 2S \cdot \frac{224}{5S} \]

Сокращаем S:

\[ v_{ср} = 2 \cdot \frac{224}{5} = \frac{448}{5} \]

Выполним деление:

\[ v_{ср} = 89.6 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составила 89.6 км/ч.