Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 304. Известно, что в этой прогрессии не меньше трёх членов. в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической прогрессии?

Решение:

Первый член прогрессии \(b_1 = 304\). Прогрессия состоит из трёхзначных натуральных чисел. В прогрессии не менее трёх членов.

в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической прогрессии?

Возможные значения знаменателя \(q\):

1. Если \(q = 1\), то прогрессия: 304, 304, 304... Все числа трёхзначные. Наибольшее число — 304.
2. Если \(q > 1\), то члены прогрессии увеличиваются.
3. Если \(q < 1\), то члены прогрессии уменьшаются.

Рассмотрим случай \(q > 1\).

Второй член прогрессии \(b_2 = 304 · q\). Он должен быть трёхзначным, то есть \(100 ≤ 304 · q < 1000\).

Отсюда \(q < \frac{1000}{304} ≈ 3.29\).

Третий член прогрессии \(b_3 = 304 · q^2\). Он также должен быть трёхзначным, то есть \(100 ≤ 304 · q^2 < 1000\).

Отсюда \(q^2 < \frac{1000}{304} ≈ 3.29\), что означает \(q < √{3.29} ≈ 1.81\).

Значит, \(q\) может быть равным \(1\) или \(q\) должно быть таким, чтобы \(b_2\) и \(b_3\) были трёхзначными.

Если \(q\) — дробь, например \(q = \frac{a}{b}\) (несократимая дробь), то \(b_2 = 304 \frac{a}{b}\) и \(b_3 = 304 \frac{a^2}{b^2}\). Для того чтобы \(b_2\) и \(b_3\) были целыми, \(b\) должно делить 304, и \(b^2\) должно делить 304. Однако, 304 = \(2^4 · 19\), \(b^2\) не может делить 304, если \(b > 1\) (так как степень двойки нечетная).

Следовательно, \(q\) должно быть целым числом.

Из условия \(q < 1.81\) и \(q > 1\), единственное целое возможное значение \(q = 1\).

В этом случае прогрессия: 304, 304, 304. Наибольшее число - 304.

Рассмотрим случай \(q < 1\). Прогрессия уменьшается. Наибольшее число будет первым членом, то есть 304.

Ответ: 304.