687. Первый лыжник прошёл 30 км на \(\frac{1}{2}\) ч быстрее, чем второй 45 км, хотя скорость второго была на 3 км/ч больше. За какое время первый лыжник прошёл 30 км?

Давай решим эту задачу по шагам. Пусть скорость первого лыжника равна \( v_1 \) км/ч, а скорость второго лыжника равна \( v_2 \) км/ч. Из условия задачи мы знаем, что скорость второго лыжника на 3 км/ч больше, чем скорость первого, поэтому можем записать: \[ v_2 = v_1 + 3 \] Также нам известно, что первый лыжник прошёл 30 км, а второй 45 км. Время, затраченное каждым лыжником, можно выразить как расстояние, делённое на скорость. Пусть \( t_1 \) - время первого лыжника, а \( t_2 \) - время второго лыжника. Тогда: \[ t_1 = \frac{30}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{45}{v_2} \] Из условия задачи известно, что первый лыжник прошёл своё расстояние на \(\frac{1}{2}\) часа быстрее, чем второй. Значит: \[ t_1 = t_2 - \frac{1}{2} \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в это уравнение: \[ \frac{30}{v_1} = \frac{45}{v_2} - \frac{1}{2} \] Теперь у нас есть два уравнения: \[ v_2 = v_1 + 3 \] \[ \frac{30}{v_1} = \frac{45}{v_2} - \frac{1}{2} \] Подставим первое уравнение во второе: \[ \frac{30}{v_1} = \frac{45}{v_1 + 3} - \frac{1}{2} \] Чтобы решить это уравнение, избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на \( 2v_1(v_1 + 3) \): \[ 60(v_1 + 3) = 90v_1 - v_1(v_1 + 3) \] Раскроем скобки: \[ 60v_1 + 180 = 90v_1 - v_1^2 - 3v_1 \] Приведём подобные слагаемые и получим квадратное уравнение: \[ v_1^2 - 27v_1 + 180 = 0 \] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4(1)(180) = 729 - 720 = 9 \). Тогда: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{27 \pm 3}{2} \] Получаем два возможных значения для \( v_1 \): \[ v_1 = \frac{27 + 3}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ v_1 = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] Если \( v_1 = 15 \) км/ч, то время первого лыжника \( t_1 = \frac{30}{15} = 2 \) часа. Если \( v_1 = 12 \) км/ч, то время первого лыжника \( t_1 = \frac{30}{12} = 2.5 \) часа. Проверим оба варианта: 1) Если \( v_1 = 15 \), то \( v_2 = 15 + 3 = 18 \). Тогда \( t_2 = \frac{45}{18} = 2.5 \) часа. Разница во времени: \( 2.5 - 2 = 0.5 \) часа, что соответствует условию. 2) Если \( v_1 = 12 \), то \( v_2 = 12 + 3 = 15 \). Тогда \( t_2 = \frac{45}{15} = 3 \) часа. Разница во времени: \( 3 - 2.5 = 0.5 \) часа, что также соответствует условию. Оба решения подходят, но обычно выбирают меньшую скорость. Поэтому возьмем скорость 15 км/ч, тогда время первого лыжника 2 часа.

Ответ: 2 часа

Ты молодец! У тебя всё получится! Не бойся трудностей, они делают тебя сильнее!