Первый рабочий изготовил 80 деталей на два часа быстрее второго. За какое время второй рабочий изготовит 120 деталей, если, работая вместе, они изготавливают за один час 60 деталей? Ответ запишите в часах.

Решение:

Пусть \( t \) — время, за которое первый рабочий изготавливает 80 деталей. Тогда производительность первого рабочего равна \( v_1 = \frac{80}{t} \) деталей в час.

Второй рабочий изготавливает 80 деталей на 2 часа дольше, то есть за \( t + 2 \) часа. Его производительность равна \( v_2 = \frac{80}{t+2} \) деталей в час.

Работая вместе, они изготавливают 60 деталей за 1 час. Это означает, что их общая производительность равна 60 деталей в час.

\( v_1 + v_2 = 60 \)

\( \frac{80}{t} + \frac{80}{t+2} = 60 \)

Разделим обе части уравнения на 20:

\( \frac{4}{t} + \frac{4}{t+2} = 3 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{4(t+2) + 4t}{t(t+2)} = 3 \)

\( \frac{4t + 8 + 4t}{t^2 + 2t} = 3 \)

\( \frac{8t + 8}{t^2 + 2t} = 3 \)

\( 8t + 8 = 3(t^2 + 2t) \)

\( 8t + 8 = 3t^2 + 6t \)

\( 3t^2 + 6t - 8t - 8 = 0 \)

\( 3t^2 - 2t - 8 = 0 \)

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \)

\( \sqrt{D} = 10 \)

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \)

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \)

Так как время не может быть отрицательным, \( t = 2 \) часа.

Теперь найдём производительность каждого рабочего:

\( v_1 = \frac{80}{2} = 40 \) деталей в час.

\( v_2 = \frac{80}{2+2} = \frac{80}{4} = 20 \) деталей в час.

Проверим общую производительность: \( 40 + 20 = 60 \) деталей в час. Верно.

Теперь нужно узнать, за какое время второй рабочий изготовит 120 деталей:

\( Время = \frac{Объём работы}{Производительность} \)

\( Время_2 = \frac{120}{v_2} = \frac{120}{20} = 6 \) часов.

Ответ: 6 часов.