Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 36 деталей, на 1 час быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Дано:

Общее количество деталей в заказе: 36 деталей.
Разница в производительности: первый рабочий делает на 6 деталей больше, чем второй.
Разница во времени выполнения заказа: первый рабочий выполняет заказ на 1 час быстрее, чем второй.

Найти: производительность второго рабочего (деталей в час).

Решение:

Пусть \( x \) — производительность второго рабочего (количество деталей в час).

Тогда производительность первого рабочего будет \( x + 6 \) деталей в час.

Время, которое требуется второму рабочему для выполнения заказа: \( t_2 = \frac{36}{x} \) часов.

Время, которое требуется первому рабочему для выполнения заказа: \( t_1 = \frac{36}{x + 6} \) часов.

По условию, первый рабочий выполняет заказ на 1 час быстрее, чем второй, то есть:

\[ t_2 - t_1 = 1 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{36}{x} - \frac{36}{x + 6} = 1 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{36(x + 6) - 36x}{x(x + 6)} = 1 \]

\[ \frac{36x + 216 - 36x}{x^2 + 6x} = 1 \]

\[ \frac{216}{x^2 + 6x} = 1 \]

Умножим обе части на \( x^2 + 6x \):

\[ 216 = x^2 + 6x \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 6x - 216 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = 6, c = -216 \).

\[ D = 6^2 - 4(1)(-216) = 36 + 864 = 900 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \)

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 30}{2(1)} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 30}{2(1)} = \frac{-36}{2} = -18 \]

Так как производительность не может быть отрицательной, посторонний корень \( x_2 = -18 \) отбрасываем.

Таким образом, производительность второго рабочего \( x = 12 \) деталей в час.

Проверим:

Производительность второго рабочего: 12 деталей/час.

Производительность первого рабочего: 12 + 6 = 18 деталей/час.

Время выполнения заказа вторым рабочим: \( \frac{36}{12} = 3 \) часа.

Время выполнения заказа первым рабочим: \( \frac{36}{18} = 2 \) часа.

Разница во времени: 3 - 2 = 1 час. Условие выполняется.

Ответ: Второй рабочий делает 12 деталей в час.