Петя для каждого n ∈ {1001, 1002, 1003, …, 1299, 1300} вычислил значение суммы Sₙ = 1/(1·3) + 1/(2·4) + 1/(3·5) + 1/(4·6) + … + 1/(n·(n+2)) и представил его в виде несократимой дроби. Получилось 300 дробей. У какого количества получившихся дробей знаменатель меньше 1 000 000?

Разложим общий член суммы:

\[\frac{1}{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right).\]

Тогда сумма телескопическая:

\[S_n=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right).\]

После приведения к общей дроби:

\[S_n=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}.\]

При сокращении знаменатель имеет вид:

\[D_n=\frac{4(n+1)(n+2)}{g},\]

где в рассматриваемом диапазоне существенны два случая:

• если \(n\) чётное или \(n\equiv1\pmod 8\), то \(g\ge 8\), поэтому
  \[D_n\le\frac{(n+1)(n+2)}2<1\,000\,000;\]
• для остальных нечётных \(n\) сокращение недостаточно, и \(D_n>1\,000\,000\).

Чётных чисел от 1001 до 1300:

\[150.\]

Нечётные числа, сравнимые с 1 по модулю 8:

\[1001,1009,1017,\ldots,1297.\]

Их количество:

\[\frac{1297-1001}{8}+1=38.\]

Итого:

\[150+38=188.\]

Ответ: 188.